Parametrisierung von Flächen mit Hilfe des Ricci-Flusses

Natalya Obydenna, Leibniz Universität Hannover, Diplomarbeit
05/2011

Der kontinuierliche Ricci Fluss ist eine parabolische partielle Differentialgleichung, welche einen Diffusionsvorgang für die Metrik einer Riemannschen Mannigfaltigkeit in Abhängigkeit der durch sie induzierten Ricci- Krümmung beschreibt. Die Metrik kann dadurch in eine vorgegebene Zielmetrik deformiert werden, welche zur ursprünglichen Metrik konform äquivalent ist.

Im Falle von zweidimensionaler Flächen lässt sich mit Hilfe des Ricci Flusses beispielsweise eine Metrik berechnen, die eine flache Gausskrümmung induziert. Dadurch kann eine winkeltreue Parametrisierung eines Flächenstückes über der Ebene konstruiert werden. Dieser Anwendungsfall ist von besonderem Interesse, da sich viele Betrachtungen und Berechnungen (z.B. die Konstruktion von Splines) vereinfachen, sobald man über eine Parametrisierung verfügt.

Der diskrete Ricci-Fluss ist das Analogon des kontinuierlichen Ricci-Flusses für Flächen, die durch Dreiecksnetze beschrieben werden. Die Metrik wird dabei durch eine Funktion auf den Dreieckskanten dargestellt. Die diskrete Gausskrümmung wird durch den Winkeldefekt in den Eckpunkten des Dreiecksnetzes berechnet.

In der vorliegenden Diplomarbeit sollen zunächst die theoretischen Grundlagen des Ricci-Flusses und des diskteten Ricci-Flusses sowie ihr Zusammenhang erarbeitet und dargestellt werden. Ferner soll der Diskrete Ricci Fluss implementiert und in ein vorgegebenes C++ Framework eingebunden werden. Dabei stehen verschiedene Verfahren zur Auswahl. Diese unterscheiden sich hinsichtlich ihrer Konvergenzgeschwindigkeit und hinsichtlich ihrer Genauigkeit (insbesondere bei Triangulierungen mit schlechter Qualität), vgl. [1]. Mit Hilfe des implementierten Verfahrens sollen anschließend für Beispielobjekte Parametrisierungen konstruiert werden.

Literatur:
  [1] Yang, Guo, Luo, Hu, Gu (2009): Generalized Discrete Ricci Flow

Kontakt: Alexander Vais