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                        Universitšt Hannover Welfenlab Leibniz Universitšt Hannover

Laplace Spectra for Shape Recognition

by M. Reuter.

Books on Demand, ISBN 3-8334-5071-1, July 2006.

In dieser Arbeit wird ein Verfahren eingef√ľhrt, einen numerischen Fingerabdruck bzw. eine Signatur (die "Shape-DNA") einer beliebigen 2d- oder 3d-Mannigfaltigkeit (Fl√§che oder K√∂rper) zu berechnen. Hierzu werden die Eigenwerte bzw. das Spektrum des zugeh√∂rigen Laplace-Beltrami-Operators ermittelt. Es ist ein neuer Ansatz, dieser Laplace-Beltrami-Spektren als Fingerabdr√ľcke von Fl√§chen und K√∂rpern zu nutzen.

Da es sich bei dem Spektrum um eine Isometrieinvariante handelt, ist es unabh√§ngig von der Beschreibung des Objekts, insbesondere von der Parametrisierung und der r√§umlichen Lage. Dar√ľber hinaus lassen sich die Eigenwerte normalisieren, so dass uniforme Skalierungen des geometrischen Objekts leicht r√ľckg√§ngig gemacht werden k√∂nnen. Somit ist es allein durch den Vergleich der Spektren m√∂glich, die Isometrie zweier Objekte zu √ľberpr√ľfen, ohne sie vorher in Deckung bringen zu m√ľssen (Registrierung, Lokalisierung).

Diese Arbeit beschreibt die Berechnung und den Vergleich der Spektren von Objekten, die in verschiedenen Repr√§sentationen vorliegen k√∂nnen. Wir behandeln z.B. Objekte, die aus NURBS oder anderen parametrisierten Fl√§chen zusammengesetzt sein k√∂nnen. Weiterhin betrachten wir polygonale Netze (z.B. 3d-Triangulierungen), solide Polyeder und gekr√ľmmte K√∂rper wie z.B. die Kugel oder den Zylinder. Indem wir die Isometrieinvarianz des Laplace-Beltrami-Operators ausnutzen, gelingt es uns die Eigenwerte von glatt berandeten Gebieten zu berechnen, ohne Diskretisierungsfehler durch eine Randapproximation zu erhalten.

Weiterhin wird eine Methode vorgestellt, glatt berandete Gebiete mit Hilfe der Medialen Achse zu parametrisieren. Dieses Verfahren f√ľhrt zu einer besonders genauen L√∂sung von Differenzialgleichungen nach der Finite-Element-Methode. Die Genauigkeit dieser Methode wird an verschiedenen Objekten mit bekannten Spektren verifiziert. Dar√ľber hinaus werden Beispiele von nicht-isometrischen aber isospektralen K√∂rpern aufgef√ľhrt, die nicht durch ihr Spektrum unterschieden werden k√∂nnen, und es wird belegt, dass das Spektrum ihrer Mantelfl√§chen genug Unterscheidungskraft besitzt, um sie auseinander zu halten.

Außerdem wird die schnelle Konvergenz der "Heat-Trace"-Reihe bewiesen und es wird demonstriert, dass es möglich ist, geometrische Daten wie z.B. das Volumen, die Randlänge und sogar die Euler-Charakteristik eines Objekts aus seinen numerisch berechneten Eigenwerten zu extrahieren. Diese Tatsache bestätigt nicht nur die Genauigkeit der berechneten Eigenwerte, sondern unterstreicht die geometrische Bedeutung des Spektrums.

Schlie√ülich wird gezeigt, dass endliche Teilspektren f√ľr den Formvergleich von Fl√§chen und Dreiecksnetzen in unterschiedlichen Aufl√∂sungen genutzt werden k√∂nnen. Mittels der hier vorgestellten "Shape-DNA" ist eine Realisierung von  Kopierschutzverfahren, Datenbankabfragen sowie Qualit√§tskontrollen von digital repr√§sentierten Fl√§chen und K√∂rpern m√∂glich.

Top | Last Change 01.03.2008 | Editorial Responsibility Philipp Blanke
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